计算流体力学核心公式详解

以下是计算流体力学（CFD）中几个必须掌握的公式及其推导过程，面向初学者，用简单语言解释每一项的来源。

1. 连续性方程（Continuity Equation）

公式:

∂ρ/∂t + ∇ · (ρu) = 0

推导过程

想象一个装水的小箱子，水可以从四周流进或流出。我们要保证箱子里的水质量不会凭空增加或减少。

1. 箱子里的水量变化
   • 水量（质量） = 密度 ρ × 体积 V
   • 如果密度随时间变化（比如水流进来变多了），质量变化率是：
     质量变化率 = V · ∂ρ/∂t
   • ∂ρ/∂t: 密度随时间的变化，例如水量增加导致密度变大。
2. 水流进流出
   • 假设箱子是一个小立方体，边长为 Δx, Δy, Δz
   • x 方向：左边流入 ρu_x Δy Δz，右边流出 (ρu_x + ∂(ρu_x)/∂x · Δx) Δy Δz
   • 净流出（流出 – 流入）：
     -∂(ρu_x)/∂x · Δx Δy Δz
   • 三个方向加起来：
     -(∂(ρu_x)/∂x + ∂(ρu_y)/∂y + ∂(ρu_z)/∂z) V = -∇ · (ρu) V
3. 质量守恒
   • 质量变化 = 流入 – 流出：
     V · ∂ρ/∂t = -∇ · (ρu) V
   • 除以 V：
     ∂ρ/∂t + ∇ · (ρu) = 0

每一项来源

• ∂ρ/∂t: 水箱内水密度随时间的变化，例如水流进来导致密度增加。
• ∇ · (ρu): 水从箱子流进流出的净效果，ρu 是质量流率，∇ · 表示“散开”或“聚集”。
• 等于0: 水不会凭空出现或消失，变化完全由流入流出平衡。

2. 纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equation）

公式（动量守恒，矢量形式）:

ρ (∂u/∂t + (u · ∇) u) = -∇p + μ∇²u + f

推导过程

想象水流在管道中流动，我们要计算水为何加速或减速。依据牛顿第二定律：质量 × 加速度 = 合力。

1. 左边：动量变化（加速度）
   • 质量 = 密度 ρ × 体积
   • 加速度分为两部分：
     • ∂u/∂t: 速度随时间变化，例如水突然被推快。
     • (u · ∇) u: 水流自己带动自己，例如前面水流快，后面的水被拉着加速。
   • 总加速度：∂u/∂t + (u · ∇) u
   • 乘以质量：ρ (∂u/∂t + (u · ∇) u)
2. 右边：力的来源
   • -∇p: 压力差推动水流，例如前面压力低，水就流向那里（负号表示从高压流向低压）。
   • μ∇²u: 粘性力，水像糖浆一样黏稠，旁边慢的水会拖住快的水。
   • f: 外力，例如重力拉着水向下流。
3. 平衡
   • 牛顿第二定律：质量 × 加速度 = 合力，因此：
     ρ (∂u/∂t + (u · ∇) u) = -∇p + μ∇²u + f

每一项来源

• ρ ∂u/∂t: 水速随时间变化，例如突然开阀门。
• ρ (u · ∇) u: 水流自我推动（对流效应）。
• -∇p: 压力差推动水流，类似吹气球。
• μ∇²u: 粘性力，类似糖浆互相拉扯。
• f: 外力，例如重力或风力。

3. 能量方程（Energy Equation）

公式:

ρ De/Dt = -p (∇ · u) + ∇ · (k ∇T) + Φ

推导过程

想象一个装热水的小盒子，水流进流出，还可能被加热或摩擦发热，我们要计算盒子里的能量怎么变化。能量守恒定律表明：流体在一个小区域里的能量变化，等于外界输入的能量加上内部产生的能量。

1. 什么是能量方程的核心？
   • 我们关注内能 e（通常与温度相关），单位质量的内能（焦耳/千克）。
   • 目标是算出单位体积内能的变化率（ρ De/Dt）及其来源。
2. 左边：内能的变化率
   • 假设追踪一小块水（物质导数），它的内能 e 可能因时间变化或流动到不同位置而改变。
   • De/Dt: 物质导数，表示内能 e 的总变化率，包括：
     • ∂e/∂t: 内能在固定位置随时间变化，例如盒子被加热。
     • u · ∇e: 内能随流动位置变化，例如热水流到冷处。
     • 数学上：De/Dt = ∂e/∂t + u · ∇e
   • 乘以密度 ρ：ρ De/Dt，表示单位体积的能量变化率。
   • 生活比喻: 就像端着一杯热水跑，水温可能因时间变冷（∂e/∂t），也可能因跑到冷风里变冷（u · ∇e）。
3. 右边：能量变化的来源能量变化来自三个方面：压力做功、热传导、粘性耗散。我们逐一推导。
   • 压力做功：-p (∇ · u)
     • 物理概念: 流体被压缩或膨胀时，压力改变内能。例如挤压气球，气体温度升高。
     • 推导:
       • 假设一个小立方体（体积 V = Δx Δy Δz），流体速度 u = (u_x, u_y, u_z)。
       • 体积变化率与速度散度相关：(1/V) DV/Dt = ∇ · u
       • 如果 ∇ · u > 0，流体膨胀；如果 ∇ · u < 0，流体压缩。
       • 压力 p 对体积做功的功率：功率 = -p DV/Dt = -p (∇ · u) V（负号是因为压缩时 DV < 0，能量增加）。
       • 单位体积功率：-p (∇ · u)
     • 意义: 压缩时内能增加，膨胀时内能减少。
     • 生活比喻: 像打气筒，挤压空气时发热（压缩功）。
   • 热传导：∇ · (k ∇T)
     • 物理概念: 热量从高温处传到低温处，例如热水流到冷盒子里。
     • 推导:
       • 热流密度 q = -k ∇T（傅里叶定律），k 是导热系数，∇T 是温度梯度，负号表示热量从高温流向低温。
       • 考虑小立方体：
         • x 方向净热流：左边流入 -k ∂T/∂x Δy Δz，右边流出 -k (∂T/∂x + ∂²T/∂x² Δx) Δy Δz。
         • 净热流入（流入 – 流出）：k ∂²T/∂x² Δx Δy Δz
         • 三个方向加起来：∇ · (k ∇T) V = (∂/∂x (k ∂T/∂x) + ∂/∂y (k ∂T/∂y) + ∂/∂z (k ∂T/∂z)) V
       • 单位体积热流入：∇ · (k ∇T)
     • 意义: 温度不均匀时，热量流动改变内能。
     • 生活比喻: 像热汤倒进冷碗，碗边慢慢变热。
   • 粘性耗散：Φ
     • 物理概念: 流体流动时摩擦生热，例如搅拌水会微微发热。
     • 推导:
       • 粘性力（来自纳维-斯托克斯的 μ∇²u）在运动中做功，能量转成热。
       • 耗散率 Φ 是粘性应力与速度梯度的乘积，具体形式：
         Φ = μ [2 (∂u_x/∂x)² + 2 (∂u_y/∂y)² + 2 (∂u_z/∂z)² + (∂u_x/∂y + ∂u_y/∂x)² + (∂u_x/∂z + ∂u_z/∂x)² + (∂u_y/∂z + ∂u_z/∂y)²] – ⅔ μ (∇ · u)²
       • 简单情况：Φ 表示摩擦转化的热量。
     • 意义: 流动越剧烈，摩擦热越多。
     • 生活比喻: 像揉面团，手感发热。
4. 能量守恒
   • 把所有来源加起来：
     内能变化率 = 压力做功 + 热传导 + 粘性耗散
     ρ De/Dt = -p (∇ · u) + ∇ · (k ∇T) + Φ

每一项的详细来源和意义

• ρ De/Dt
  • 来源: 内能 e（通常与温度挂钩）的总变化率，乘以密度 ρ 表示单位体积的能量变化。
  • 物理意义: 水流带着能量跑，或者时间让能量变（例如冷却）。
  • 例子: 热水流到冷处，内能下降。
• -p (∇ · u)
  • 来源: 压力 p 对流体体积变化（∇ · u）做功。
  • 物理意义: 压缩（∇ · u < 0）增加内能，膨胀减少内能。
  • 例子: 挤压空气瓶，温度升高。
• ∇ · (k ∇T)
  • 来源: 热量通过温度梯度 ∇T 传导，k 是传导能力。
  • 物理意义: 高温流向低温，改变局部内能。
  • 例子: 热管里的水传热给冷管壁。
• Φ
  • 来源: 粘性力（μ）引起的摩擦，把动能转成热能。
  • 物理意义: 流体内部“打架”生热，尤其在湍流中明显。
  • 例子: 快速搅拌水，水温略升。

简化情况

• 不可压缩流体: ∇ · u = 0（由连续性方程），压力项消失，方程简化为：
  ρ De/Dt = ∇ · (k ∇T) + Φ
• 无热传导: 如果 k = 0（不考虑热传导），变成：
  ρ De/Dt = -p (∇ · u) + Φ

小结（生活化比喻）

能量方程像管家记账：

• 左边（ρ De/Dt）：账本上能量总变化。
• 右边：
  • 压力做功：挤压或放开，像给钱包加减压。
  • 热传导：热量跑来跑去，像邻居借糖。
  • 粘性耗散：摩擦生热，像跑步出汗。

4. 伯努利方程（Bernoulli Equation）

公式:

p + ½ ρ u² + ρ g h = 常数

推导过程

想象水从高处流到低处，我们要看能量如何保持不变。假设水无黏性、不压缩且流动稳定。

1. 能量种类
   • 压力能: p，像水压能推动水流。
   • 动能: ½ ρ u²，水流速快具有动能。
   • 势能: ρ g h，水在高处有重力势能。
2. 能量守恒
   • 沿水流路径（流线），总能量不变：
     • 高处：压力低、速度慢、位置高
     • 低处：压力高、速度快、位置低
   • 写下来：
     p + ½ ρ u² + ρ g h = 常数
3. 简化推导
   • 从纳维-斯托克斯方程简化：无粘性（μ = 0）、稳态（∂u/∂t = 0）、不可压缩，沿流线积分得到。

每一项来源

• p: 压力能，水被挤压的能量。
• ½ ρ u²: 动能，水流速的能量。
• ρ g h: 势能，水的高度带来的能量。
• 常数: 总能量不增不减。

5. 雷诺数（Reynolds Number）

公式:

Re = ρ u L / μ

解释（无严格推导）

• 来源: 实验发现，流动是“平滑”（层流）还是“混乱”（湍流）取决于这个比值。
• ρ u L: 惯性力，水流想保持运动的趋势。
• μ: 粘性力，水被黏住的阻力。
• 意义: Re 小，粘性占主导（层流）；Re 大，惯性占主导（湍流）。