Navier-Stokes 方程完整推导（小白版）
Navier-Stokes 方程（简称 N-S 方程）描述流体（水、空气）的运动。我们要推导出它的不可压缩形式，看看压力项 -∇p 和粘性力项 μ∇²v 怎么来的，为什么没有显式的“面积”，但方程依然平衡。别怕复杂，我会用生活例子一步步讲！
一、起点：牛顿第二定律
N-S 方程的核心是牛顿第二定律：力 = 质量 × 加速度。但流体不是固体，它是流动的，所以我们分析一个“微小流体块”，看看它受什么力，怎么动。
比喻：把一大桶水分成无数小水滴，研究一个水滴的受力和运动。
1. 选一个微小流体块
想象一个微小的立方体流体，边长是 Δx, Δy, Δz：
- 体积：ΔV = Δx Δy Δz。
- 质量：m = ρ ΔV（ρ 是密度，单位 kg/m³）。
- 速度：v = (v_x, v_y, v_z)，是个向量。
例子：像切一块水豆腐，每块都有自己的重量和速度。
2. 加速度：动量变化
加速度是速度的变化率，分两部分：
- 局部加速度：∂v/∂t，时间引起的，在一个点速度变了。
- 对流加速度：v · ∇v，空间引起的，流体自己“带着速度跑”。
总加速度（物质导数）：
例子：河水流着，突然上游放水（局部加速度），或者拐弯变慢（对流加速度）。
动量变化率（单位体积的力）：
– 单位：kg/m³ · m/s² = N/m³。
二、受力分析：右边的力
根据牛顿第二定律，左边的动量变化率等于右边的总力。我们看看有哪些力作用在这个小块上：压力力、粘性力、外力。
1. 压力力：-∇p
压力是流体“挤压”的力量，高压往低压推。
推导过程
- 压力差：考虑 x 方向，左面压力是 p(x)，右面是 p(x + Δx)。
- 用泰勒展开：p(x + Δx) ≈ p(x) + (∂p/∂x) Δx
- 净力：左右两面压力差产生的力：
- 左面力：p(x) · (Δy Δz)（面积是 Δy Δz）。
- 右面力：p(x + Δx) · (Δy Δz)，方向相反。
- 净力：F_x = p(x) · (Δy Δz) – p(x + Δx) · (Δy Δz) = -(∂p/∂x) Δx · (Δy Δz)
- 单位体积的力：
- F_x/ΔV = -(∂p/∂x)
- 三维扩展：-∇p = -(∂p/∂x, ∂p/∂y, ∂p/∂z)
单位：N/m² / m = N/m³。正好是单位体积的力！
例子：挤牙膏，管口压力低，牙膏被挤出去，∇p 指向低压方向。
面积去哪了？：面积 Δy Δz 在净力计算中出现，但除以体积 ΔV 后，变成了梯度形式 -∇p。所以不需要显式写面积。
2. 粘性力：μ∇²v
粘性力是流体内部的“摩擦力”，因为粘度 μ，试图抹平速度差异。
推导过程
- 粘性应力：牛顿流体中，应力：τ = μ (∂v_x/∂y)
- 单位 N/m²，表示速度梯度引起的“拖拽力”。
- 应力差：考虑 y 方向，底面应力 τ(y) = μ (∂v_x/∂y)，顶面：τ(y + Δy) ≈ μ (∂v_x/∂y) + μ (∂²v_x/∂y²) Δy
- 净力：F_x = [τ(y) – τ(y + Δy)] · (Δx Δz) = -μ (∂²v_x/∂y²) Δy · (Δx Δz)
- 单位体积的力：
- F_x/ΔV = -μ (∂²v_x/∂y²)
- 三维扩展：μ∇²v_x = μ (∂²v_x/∂x² + ∂²v_x/∂y² + ∂²v_x/∂z²)
单位：μ 是 kg/m·s，∇²v_x 是 1/s·m，总单位 N/m³。也是单位体积的力！
例子：搅拌蜂蜜，上层快下层慢，粘性力拖住快层，像“刹车”。
面积去哪了？：面积 Δx Δz 在应力差计算中用到了，但除以 ΔV 后，变成了 ∇²v，面积被“隐藏”。
3. 外力：f
外力是外界施加的力，比如重力：
单位：kg/m³ · m/s² = N/m³。直接是单位体积的力。
例子：雨滴下落，重力拉着它往下。
三、组合成方程
把所有力加起来，牛顿第二定律写成：
两边除以 ΔV：
这就是 Navier-Stokes 方程！左边是动量变化，右边是三种力，单位都是 N/m³。完美平衡！
四、为什么面积“消失”了？
你可能疑惑：力不是应该跟面积有关吗？答案是：
- 微分形式：N-S 方程算的是单位体积的力（N/m³），不是总力（N）。
- 面积被藏起来了：推导中，压力和粘性力都先算了表面上的力（用到面积），但除以体积后，变成了梯度和二阶导数。
比喻：像算一个房间的暖气分布，不是看整个墙的热量，而是每立方米的变化。面积被“平均”到体积里了。
五、小结
Navier-Stokes 方程通过分析一个微小流体块，把牛顿第二定律变成：
- 左边：动量变化率。
- 右边：压力力（-∇p）、粘性力（μ∇²v）、外力（f）。
面积在推导净力时出现，但因为是单位体积的形式，最终化成了梯度和二阶导数。方程完全平衡，单位一致，都是 N/m³。
希望这个推导清楚了你的疑问！如果还有不明白的地方（比如“二阶导数怎么来的”），随时告诉我，我再细化解释！
