1. 向量和矩阵
1.1 向量加法
公式：
a + b = [a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn]
推导：向量加法是逐元素相加两个向量的对应分量。如果向量 a = [a1, a2, …, an] 和向量 b = [b1, b2, …, bn]，那么它们的加法就等于每一对分量的相加。
1.2 标量与向量的乘法
公式：
c · a = [c · a1, c · a2, ..., c · an]
推导：标量与向量的乘法是将标量 c 乘以向量 a 中的每一个分量，得到一个新的向量。
1.3 矩阵乘法
公式：
A · B = [row of A · column of B]
推导：矩阵乘法的基本操作是按行和列进行点积。假设矩阵 A 是 m×n 矩阵，矩阵 B 是 n×p 矩阵，那么它们的乘积矩阵 C 将是一个 m×p 的矩阵，C 的每个元素 c_ij 等于矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列的点积。
1.4 矩阵的转置
公式：
A^T
推导：矩阵的转置是将矩阵的行列交换。例如，矩阵 A 的元素 A_ij 转置后变为 A_ji。
1.5 矩阵的逆
公式：
A · A^(-1) = I
推导：矩阵 A 的逆矩阵 A^(-1) 是满足 A 乘以 A^(-1) 等于单位矩阵 I 的矩阵。只有方阵（行列数相同）才可能有逆矩阵，并且只有满秩矩阵才有逆矩阵。
1.6 行列式
公式：
det(A)
推导：行列式是与矩阵相关的一个标量值，常用于判定矩阵是否可逆。对于 2×2 矩阵 A = [[a, b], [c, d]]，行列式计算为：
det(A) = ad - bc
对于更大的矩阵，行列式的计算更加复杂，通常需要递归计算子矩阵的行列式。
2. 特征值与特征向量
2.1 特征方程
公式：
A · v = λ · v
推导：矩阵 A 与向量 v 相乘得到 λ 乘以 v，其中 λ 是标量，称为特征值，v 是向量，称为特征向量。特征方程用于求解矩阵的特征值和特征向量。
2.2 特征值的求解
公式：
det(A - λI) = 0
推导：特征值 λ 的求解过程是通过计算矩阵 A – λI 的行列式并使其等于零。解出 λ 后，可以代入 A – λI 来求得特征向量。
3. 向量空间与子空间
3.1 向量空间的定义
公式：
α · a + β · b ∈ V
推导：向量空间 V 是满足加法和标量乘法闭合性的集合。也就是说，任意两个向量 a 和 b 及标量 α 和 β 的线性组合依然在该空间内。
3.2 子空间的定义
公式：
U ⊆ V
推导：子空间是向量空间的一个子集，且该子集本身也是一个向量空间，满足加法和标量乘法的闭合性。
4. 线性变换与矩阵表示
4.1 线性变换的定义
公式：
T(α · v + β · w) = α · T(v) + β · T(w)
推导：线性变换 T 是一种保持加法和标量乘法的变换。即对于任意向量 v 和 w 以及标量 α 和 β，变换 T 应满足上述公式。
4.2 矩阵的作用
公式：
T(v) = A · v
推导：线性变换 T 可以通过矩阵 A 来表示。向量 v 经过变换 T 后，得到的结果就是矩阵 A 乘以向量 v。
5. 向量的内积与外积
5.1 向量的内积
公式：
a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn
推导：向量的内积是两个向量对应元素相乘后求和的结果。内积的几何意义是两个向量夹角的余弦值与它们的模长的乘积。
5.2 向量的外积
公式：
a × b = [ (a2 * b3 - a3 * b2), (a3 * b1 - a1 * b3), (a1 * b2 - a2 * b1) ]
推导：外积是两个三维向量的叉积，结果是一个与这两个向量垂直的向量，外积的大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积。
6. 矩阵的秩与解的唯一性
6.1 矩阵的秩
公式：
rank(A)
推导：矩阵的秩是其行或列的线性无关的最大数目。矩阵的秩影响矩阵是否可逆及其线性方程组的解的性质。
6.2 线性方程组的解
公式：
A · x = b
推导：线性方程组的解可以通过矩阵的逆（如果存在）来计算：x = A^(-1) · b。如果矩阵 A 可逆，解是唯一的。